[시계열 분석] 이동 평균 모델 (MA)

이동 평균 모델(MA)란 각 시점의 데이터가 최근의 과거값에 대한 오차항으로 구성된 함수이다.

 

식은 아래와 같이 표현할 수 있으며, 이때 $e~N(0,sigma^2)$인 백색잡음이다.

$$y_t = \mu + e_t+\theta_{1}e_{t-1} + \theta_{2}e_{t-2} +\cdots +\theta_{q}e_{t-q}$$

 

이는 자기 회귀 모델과 유사하지만, 방정식을 구성하는 항이 과정 자체에 대한 현재와 과거 값이 아니라

현재와 과거의 오차항을 가리킨다는 점이 다르다.

 

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정의상 MA모델은 파라미터에 어떠한 제약 사항도 부여할 필요없이 "약한 정상성"을 띤다.

=> 오차항이 평균을 0으로 하는 독립항등분포라고 가정했기 때문!

=> 따라서, MA과정이 평균과 분산이 유한하고, 시간에 따라 변하지 않음!!

 

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< 평균 >

\begin{align*} 
E(y_t) &= E(\mu + e_t+\theta_{1}e_{t-1} + \theta_{2}e_{t-2} +\cdots +\theta_{q}e_{t-q})\\
&= E(\mu) + E(e_t)+\theta_{1}E(e_{t-1}) + \theta_{2}E(e_{t-2}) +\cdots +\theta_{q}E(e_{t-q})\\
&=\mu
\end{align*}

 

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< 분산 >

\begin{align*} 
Var(y_t) &= Var(\mu + e_t+\theta_{1}e_{t-1} + \theta_{2}e_{t-2} +\cdots +\theta_{q}e_{t-q})\\
&= Var(e_t)+\theta_{1}^2Var(e_{t-1}) + \theta_{2}^2Var(e_{t-2}) +\cdots +\theta_{q}^2Var(e_{t-q})\\
&=\sigma^2+\theta_{1}^2\sigma^2 + \theta_{2}^2\sigma^2 +\cdots +\theta_{q}^2\sigma^2\\
&=(1+\theta_1^2+\theta_2^2+\cdots \theta_q^2)\sigma^2
\end{align*}

 

 

 

 

 

 

[참고]

에일린 닐슨, 「실전 시계열 분석」, 박찬성, 한빛미디어(2021)

https://otexts.com/fppkr/MA.html

https://assaeunji.github.io/statistics/2021-08-23-arima/